Реферат неопределенные и определенные интегралы

Изучение правила замены переменной. Характеристика особенностей интегрирования по частям в определенном интеграле. Формулирование теорем. Нахождение первообразной подынтегральной функции и приращения первообразной. Вычисление определенного интеграла.

Справочник Интегралы Имеется несколько типов интегралов: неопределенный и определенный интегралы, интеграл Римана и Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега и Лебега-Стилтьеса, интеграл Даниэля. По области интегрирования интегралы подразделяются на кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Историческая справка Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с года до н. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур - метод исчерпывания Евдокса Евдокс Книдский ок. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны.

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Интегралы 1 — 17 называют табличными. Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой замена переменной. Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Тогда если на множестве Х функция f x имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула: - 2 Формула 1 называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u x и v x — две дифференцируемые функции переменной х. С помощью этой формулы отыскание интеграла. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы 4 более прост для вычисления, нежели исходный. В формуле 4 отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям. Интегралы вида , , Pn x — многочлен степени n, k — некоторое число. Интегралы вида , , , , Pn x — многочлен степени n относительно х. Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn x.

Интегралы вида , a, b — числа. Они вычисляются двукратным интегрированием по частям. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби. Рациональной дробью R x называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Здесь А, a, p, q, M, N — действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления: Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов: Интегрирование рациональных дробей. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого — четвертого типов.

Для разложения на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Qm x на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение: - 5 Теорема. Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби по формуле 6 на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Qm x и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену Pn x. Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений по числу неопределенных коэффициентов и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов.

Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.

Правило интегрирования рациональных дробей. Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции. Интегралы вида Универсальная подстановка. Будем рассматривать интегралы вида: - 7 при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Для вычисления интеграла вида 7 существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке. Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам: Интегрирование иррациональных выражений.

Интегралы вида m1, n1, m2, n2, … - целые числа. В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х. Эти интегралы подстановкой: где s — общий знаменатель дробей , , …, сводятся к рациональной функции от переменной t. В результате этот интеграл сводится к табличному: В числителе интеграла I2 выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов: где I1 — вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1 подстановкой: Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок. При этом f x dx называется подынтегральным выражением, f x — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования, a и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла. Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры изображенной на рис. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f1 x , f2 x , …, fn x равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых: 6 аддитивность определенного интеграла.

Если существует интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c; 7. Если функция f x непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что т. Теорема о среднем. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования — буквой х. Производная определенного интеграла от непрерывной функции f x по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела: Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной в определенном интеграле. Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме. Пусть u x и v x — дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]: - 11 С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница Следовательно, формула 11 принимает вид: - 12 Формула 12 называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Вычисление площадей плоских фигур. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела: Практические задания Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием: 1.

ПОСМОТРИТЕ ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Математика без Ху%!ни. Определенные интегралы, часть 1.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула. Геометрический смысл определенного интеграла. существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача 1 о вычислении площади криволинейной трапеции. В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура см. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга сектора, сегмента. Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом. Разобьем отрезок [а; b] основание криволинейной трапеции на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x1, x2, Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f xk см. Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади Sn ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников см. Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b]. Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить. Вернемся к рассмотренным выше задачам. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. Ответ можно найти в задаче 2.

Интегралы 1 — 17 называют табличными.

Список использованной литературы Введение Интеграл от лат. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления. Определенный интеграл — одно из основных понятий математического анализа — является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

Первообразная. Неопределённый и определённый интегралы

Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла — доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений — на нашем телеграм-канале.

Определенный интеграл

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным. Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , тогда называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования несобственным интегралом I рода. Если существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся ; если данный предел не существует или равен , то несобственный интеграл называется расходящимся. Геометрически несобственный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу — осью , слева — отрезком прямой и неограниченной справа рис. Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна. Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом: , 14 где с — любая точка интервала. Интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства Пример

Integer - целый - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки , а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т.

Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница Определённым интегралом от непрерывной функции f x на конечном отрезке [a, b] где называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла При этом употребляется запись Как видно на графиках внизу приращение первообразной функции обозначено , определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т.

Решение задач по математике онлайн

.

Определённый интеграл и методы его вычисления

.

Творческие работы

.

Реферат: Определенный интеграл

.

.

.

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Математика без Ху%!ни. Определенные интегралы, часть 2. Замена переменных.
Похожие публикации